Resumo de Matemática Básica

 

 

  

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA

 

 

 

Prof. Wilson C. Canesin da Silva

 

 


 

SUMÁRIO

 

 

1 – Operações com frações

2 – Divisão de frações

3 – Operações com números relativos

4 – Resolução de equações do 1º grau (1º tipo)

5 – Resolução de equações do 1º grau (2º tipo)

6 – Resolução de equações do 1º grau (3º tipo)

7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)

8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)

9 – Equação do 2º grau completa

10 – Radicais

11 – Operações com radicais

12 – Exponenciais

13 – Propriedade distributiva

14 – Produtos notáveis

15 – Diferença de quadrados

16 – Trinômio ao quadrado

17 – Binômio ao quadrado

18 – Fatoração

19 – Racionalização de expressões numéricas

20 – Racionalização de expressões algébricas

21 – Solução de equações irracionais

22 – Resolução de sistemas de 2 equações a 2 incógnitas

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – Operações com frações

 

         O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:

 

 +  =  =

 

Ex. 1)   +  =  =  =

 

Ex. 2)   -  =  =  =

 

 

         Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo.

 

 

 +  +   =    = 

 

 

Ex. 3)   +  -  =  =

 

           =   = 

 

 

Resolver:

 

a)   +                       b)   -                        c)   -

 

d)                    e)                   f) 

 

 

2 – Divisão de frações

 

          É só inverter a 2ª fração e multiplicar

 

  =    = 

 

 

Ex. 1)    =    =    = 

 

 

Ex. 2)   =   = 

 

 

Ex. 3)    =    =    =    = 

 

 

Resolver:

 

a)                        b)                          c) 

 

 

d)    ¸                                e)   ¸

 

 

 

3 – Operações com números relativos

 

Ex. 1)   -2 + (-3)  ®  -2 – 3 = - 5

 

Ex. 2)  +5 – (-8)  ®  5 + 8 = 11

 

Ex. 3)  (-2) ´ (-3) = 6

 

Ex. 4)  (-3) ´ 5 = -15

 

Ex. 5)  (-2)2 = (-2) ´ (-2) = 4

 

Ex. 6)  (-3)3 = (-3)2 ´ (-3) = 9 ´ (-3) = - 27

 

Resolver:

 

a)     -9 + 12 – (-14) =                        b)  13 + (-9) – 3 =

 

c)  7 – (-8) =                                    d)  -14 – (-12) – 24 =

 

e)  (-3) ´ (-8) + 25 =                        f)  9 ´ (-2) ´ (-3) =

 

g)  (-5)2  =                                        h)  (-2)5  =

 

 

4 – Resolução de equações do 1º grau

 

Ex. 1)  ax = b  ,    divide os 2 membros por    “a”

 

            ax/a  =  b/a   ®  x = b/a

 

Resolver:

 

a)  3x = -7                              b)  15x = 3

 

 

 

 

5 – Equações do 1º grau (continuação)

 

Ex. 1)  6x + 8 = 26    (subtrai  8  nos  dois membros p/ isolar  x)

           6x + 8 – 8 = 26 – 8   ®   6x = 18   ®   x = 18/6   ®   x = 3

 

Ex. 2)  3x – 12 = -13  (soma  12  nos dois membros p/ isolar  x)

 

            3x – 12 + 12 = 12 – 13   ®   3x = -1   ®   x = -1/3

 

Resolver:

 

a)  4x + 12 = 6                                b)  7x + 13 = 9

 

c)  -5x – 9 = 6                                 d)  3x + 15 = 0

 

 

6 – Equações do 1º grau (continuação)

 

Ex. 1)  5x – 13 = 2x + 7  (subtrai  2x  nos dois membros)

 

            5x – 2x – 13  =  -2x + 2x + 7

 

            3x – 13 = 7    (soma  13  nos dois membros)

 

            3x – 13 + 13 = 7 + 13   ®   3x = 20   ®   x = 20/3

 

Resolver:

 

a)  3x + 9 = 5x + 3                          b)  -2x + 3 = 12 + 3x

 

c)  7x – 13 = -3x + 7                       d)  9x – 2 = 6x + 4

 

e)     (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x

 

 

 

 

 

7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)

 

Ex. 1)  x2 = 4  ®   =    (extrai a raiz de ambos os membros)

 

            X = ± 2  (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)

 

 

Prova:  (x)2 = (+2)2   ®   x2  =  4

                                                                  As 2 raízes satisfazem

             (x)2 = (-2)2   ®   x2  =  4

 

Resolver:

 

a)  3x2 = 12                            b)  x2 = 7

 

 

8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)

 

Ex. 1)  x2 – 2x = 0           (põe  x  em evidência)

 

                                               x – 2 = 0   ® x = 2

Resulta   (x – 2)x = 0

                                               x = 0    ®    x = 0

 

Resolver:

 

a)  4x2 – 8x = 0                      b)  x2 + 3x = 0

 

c)  3x2 + 7x = 0                      d)  x2 – 5x = 0

 

 

9 – Equação do 2º grau completa

 

Forma:  ax2 + bx + c = 0

 

Solução:  D = b2 – 4ac   , D  > 0  (solução real, 2 raízes diferentes)

D      =  0  (sol. real, 2 raízes iguais)

 

Fórmula:  x =   ou  x’ = (-b + ) / 2a          x” =  (-b - )/2a

        

 

Ex. 1)  2x2 + 5x + 2 = 0

 

            D =  =  =  = 3

 

Soluções:  x’ = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/2

 

                  x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2

 

Resolver:

 

a)  x2 – 5x + 6 = 0                                    b) x2 – 6x + 8 = 0

 

c)    3x2 + 11x + 8 = 0

 

 

10 – Radicais

 

  ®  A = radicando; n = índice da raiz  e  m = expoente do radicando

 

 = Am/n    (fórmula geral)

 

Ex. 1)   =  = 22/2 = 21 = 2

 

Ex. 2)    =    =  3

 

Ex. 3)    =    =  210/5  =  22  =  4

 

Ex. 4)    =   ´  =  = x

 

 

 

 

11 – Operações com radicais

 

Ex. 1)  ´  =  =  x2/2  =  x

 

Ex. 2)  ´   = 

 

Ex. 3)    =   = 2

 

Ex. 4)    =    =   = 

Ex. 5)    =    =   = x

 

Ex. 6)    =    =    =  2

 

Resolver:

 

a)                                b)                                   c) 

 

d)                                   e)                             f) 

 

 

12 – Exponenciais

 

Ax  -  A  é a base,  x  é o expoente

 

P1)  Ax ´ Ay  =  Ax+y

 

P2)  Ax / Ay  =  Ax-y

 

P3)  (Ax)y  =  Ax.y

 

P4)  (A . B)x  =  AxBx

 

P5)         e                   =    =  Ax . B-x

 

Ex. 1)  27  =  23+4 = 23 . 24 = 8 ´ 16  =  128

 

Ex. 2)  (22)3  =  26  =  23+3  = 23 . 23 = 8 ´ 8  =  64

 

Ex. 3)  (2 ´ 3)3 = 23 ´ 33 = 22 ´ 2 ´ 32 ´ 3  =  4 ´ 2 ´ 9 ´ 3 = 216

 

Ex. 4)    =  523-20 =  53  =  52 ´ 5 =  25 ´ 5  =  125

 

 

Resolver:

a)  210                  b)                    c)                         d)  16 ´ 2-3

 

 

13 -  Propriedade distributiva

 

1)  A ´ (B + C) = A ´ B + A ´ C

 

2)    (A ± B)(C + D) = (A ± B)(C + D) = A(C + D) ± B(C + D)

 

Ex. 1)  2(4 + x)  =  8 + 2x

 

Ex. 2)  (3 – x)(x – 2)  =  3(x – 2) – x(x – 2)

                                     

                                   = 3x – 6 – x2 + 2x  =  -x2 + 5x – 6

 

Resolver:

 

a)  (x - )(x + )                         b)  (a + b)(a + b)

 

c)  (2 + )(2 - )                         d)  (2 + )(3 + 2)

 

 

14 – Produtos notáveis  (A + B)2

 

         Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir:

 

(A + B)2  =  (A + B)(A + B)  =  A2 + 2AB + B2

 

(A – B)2  =  (A – B)(A – B)  =  A2 – 2AB + B2

 

Ex. 1)  (x – 2)2  =  x2 – 4x + 4

 

Resolver:

 

a)  (x – 3)2                    b) (a + 2)2                     c) (x + y)2

 

 

15 – Diferença de quadrados

 

x2 – a2  =  (x – a)(x + a)

 

Ex. 1)  x2 – 4  =  (x – 2)(x + 2)

 

Ex. 2)  x2 – 3  =  (x - )(x + )

 

Ex. 3)  x2 – A  =  (x - )(x + )

 

 

Resolver:

 

a)  ( - 2)( + 2)  =                     b) x2 – 16  =

 

c)  x2 – 7  =                                               d)  (2 + )(2 - )  =

 

 

16 – Trinômio ao quadrado

 

(a + b + c)2  =  [(a + b) + c)]2  =  (a + b)2 + 2(a + b)c + c2

 

                      =  a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 

 

                      =  a2 + b2 + c2  +  2ab + 2ac + 2bc

 

Resolver:

 

a)  (x + y + 1)2                        b)  (x – y +2)2

 

 

 

17 – Binômio ao cubo

 

(a + b)3  =  (a + b)2 ´ (a + b)

 

 

 

 

 

18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do parênteses)

 

Ex. 1)  2x2 + 4x  =  2x(x + 2)

Ex. 2)  x + x2  =  x( + x)

Ex. 3)    =    =   = 

Resolver:

a)    =                         b)    =

c)    =                          d)    =

 

19 – Racionalização de expressões numéricas 

         Consiste em tirar uma raiz do denominador.

Ex. 1)    ®     ´   =    = 

 

Ex. 2)   =  ´   = 

 

Ex. 3)   

 

Resolver:

 a)                 b)                   c)                   d)  

 

20 - Racionalização de Expressões Algébricas

Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferença de quadrados.

 

Ex.1)    

 

Ex. 2)   

 

 

 

Resolver :

a)                          b)                         c)   

 

d)                        e)                     f)         

 

21 - Solução de Equações Irracionais

 

Ex.1)      ®  isola a raiz

               ®   eleva ao quadrado ambos os membros

                  ®    ®

 

Resolver:

a)                        b)                    c)  

 

d)            e)

 

 

 

 

 

22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas

 

 

Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação.

 

  

 

a) Por substituição : da equação 2) obtém-se   x = 5 - y que é substituído na 1).

Então   3(5 - y) + 2y =12    ®    y = 3     e volta para  x,  ou seja   x = 5 - y = = 5 - 3 = 2.

 

 

b) Por eliminação:  multiplica-se a 2)  por   -3  e soma-se com a 1)

 Então

                3x + 2y = 12

               -3x - 3y = -15

        

                - y = - 3    ®  y = 3  voltando na 2)  ,  tem-se   x = 2.

 

Resolver:

 

a)               2x +  y  = 12                             b)       3x + 2y = 4

           x + 7y = 19                                          x - y  =  2

 

c)        2x + 3y = 8                                d)      x  -  y  = 3

   3x + 4y = 11                                       2x  + y  = 9

 

 

                             Respostas das Questões

 

 

1)  a) 25/63 ;       b) 8/35  ;    c) -4/55 ;             d) 227/252 ;

 

     e)   343/792 ;                   f) 147/135

 

2)  a)  55/46        b) 3/2 ;       c)  24/7 ;             d) 104/357 ;        e) 256/371

 

3)  a)17 ;             b) 1  ;         c) 15  ;                 d) –26  ;              e) 49 ;  

 

     f) 54 ;             g) 25 ;        h) –32

 

4)  a) x= -7/3 ;     b)  x=1/5

 

5)    a) –3/2 ;          b)  -4/7 ;     c) x= -3  ;           d) x= - 5

 

6) a)  x=3 ;          b)  x=-9/5 ;  c)  x=2 ;              d)  x=2 ;               e)  x= -5/2

 

7) a)  x= ±2 ;       b)  x = ±

 

8) a)  x=0 e x= 2 ;                  b) x=0 e x= -3 ;                      c)  x=0 e x= -7/3 ;

 

    d) x=0 e x= 5

 

9) a)  x=2  e  x=3 ;       b)  x=4  e  x= 2 ;           c)  x= -1  e  x = -8/3

 

11) a)  9 ;            b)  4  ;                  c)  49 ;       d)  3  ;        e)  x + 2 ;   f)  3

 

12) a)  1024 ;      b)  49  ;                c)  81/16  ;         d )  2

 

13) a) x2 – 7  ;     b) a2 + 2ab +b2  ;         c) 1 ;          d) 2x + 7  + 6

 

14) a) x2 – 6x +9  ;       b) a2 + 4a + 4  ;            c) x2 +2xy + y2

 

15) a) –1 ;           b) (x-4)(x+4)  ;              c)  ( x -)(x + )  ;             d)  1

 

16) a)  x2 + y2 +1 + 2xy + 2x + 2y ;          b) x2 + y2 + 4 - 2xy + 4x - 4y

 

18) a)  4x  ;         b)  x - 2 ;              c)  a + b  ;            d) x+ 2

 

19) a)  ;           b)    3 /5  ;     c) 2/3  ;         d)  / 9

 

20) a)   - 1 ;    b)  (1 + ) / (1 - x)  ;                      c) 2 ( -1 ) / (x -1)

 

      d)  (7/2).(3 - )   ;          e )  ( - )/ (a2 – b2 )  ;     f)  -

 

21) a) x=0 e x=1  ;       b) x=5  ;               c) x = ± 

     

      d) x=4 e x= 1  ;       e) x= ( 1± )/2